Dessiner des équations

Chère auditrice, cher auditeur. Cette semaine, j’ai lu Une brève histoire des lignes de Tim Ingold, paru chez Zones Sensibles. Ce livre se présente lui-même comme une « anthropologie comparée de la ligne ». Alors bien évidemment, en bon matheux, j’ai été intrigué, et guetteur d’un moment où l’on discuterait de la ligne mathématique.
Je n’ai pas été déçu sur ce point, on fait bien mention des courbes mathématiques, mais ce n’est pas tellement cet aspect dont j’ai envie de parler aujourd’hui.

Si vous êtes un fidèle de mes productions, vous vous rappelez peut-être qu’il y a quelques semaines, j’ai proposé une chronique et une émission sur l’art préhistorique. J’avais notamment reçu Patrick Paillet. L’une des productions artistiques qui m’a le plus interrogé consiste en les signes géométriques. Ce sont des traces abstraites laissées, en très grand nombre, et dont les pleines significations nous resteront probablement à tout jamais inaccessibles.
J’avais interrogé Patrick Paillet sur le point suivant : ces signes, qui portent du sens, ne seraient-ils pas des écritures ? Écoutez la réponse de Patrick Paillet que j’ai sélectionnée pour vous.

L’argument est donc de dire que l’écriture doit être linéaire, c’est-à-dire lue selon des lignes droites. C’est un argument qui est repris et rediscuté assez profondément dans le livre de Tim Ingold. Il s’agit notamment pour lui de distinguer le dessin de l’écriture. Le dessin ne se lit pas selon des droites, il propose plutôt un voyage dans lequel il faut se laisser promener.
Mais alors je me suis posé la question suivante, en apparence assez simple : nos équations mathématiques sont-elles vraiment des écrits ?

Cet étonnement, il vient de deux faits. Le premier, c’est qu’une équation est quelque chose de symétrique dans le sens de lecture : dire que A est égal à B, c’est dire simultanément que A vaut B et que B vaut A. Donc intervertir le membre à droite de l’égalité avec celui à gauche ne change en rien la nature de l’égalité. Si les équations étaient des écritures, elles ignoreraient donc un principe maître de sens de lecture.
Mais le deuxième fait qui me pousse à penser les équations comme non linéaires, c’est que je n’ai pas l’impression de lire une équation, mais plutôt de m’y plonger. Je m’explique. Lorsque vous posez, par exemple, l’égalité donnée par le théorème de Pythagore, ce n’est pas tellement l’enchaînement linéaire que vous donnez, mais une relation entre trois termes que vous arrivez à discerner, à savoir les lettres qui désignent l’hypoténuse et les deux côtés adjacents à l’angle droit.

Cette égalité n’est pas tout à fait une phrase, et c’est d’autant plus flagrant lorsqu’on commence à composer des équations qui sont complexes. Tout matheux sait qu’il est très difficile de lire une équation à haute voix. Tout d’abord, parce qu’une équation se compose de termes dont l’ordre de combinaison n’est pas dans un sens prédéterminé, mais déterminé par des parenthèses implicites ou explicites. Aussi, une équation est composée par des éléments parfois en indices ou en exposants. Enfin, ce qui compte dans une équation, ne transparaît pas toujours dans ce qu’on lit mais aussi parfois dans ce qu’on y voit de façon plus subtile. Par exemple, l’apparition d’un carré dans une équation géométrique laisse à penser qu’il y a une aire géométrique en jeu quelque part.
Il faut se laisser emmener par une équation, y observer la dynamique locale des termes qui apparaissent et les laisser exprimer les relations mathématiques profondes possibles.

En ce sens, une équation mathématique invite au voyage et non au transport. C’est une opposition forte que Tim Ingold propose. Le transport, c’est ce qui porte entre deux points. Le cheminement se trouve être une contrainte au transport. Alors que le voyage, lui, n’existe que part le cheminement. On ne s’arrête de voyager que lorsque l’on décide d’une destination.
Je ressens quelque chose de similaire dans les équations mathématiques. La méthode de lecture n’est pas de l’ordre du transport de l’œil de gauche à droite, mais plutôt d’un point de vue général qui se particularise : on commence à regarder la forme de l’équation en face de nous, on discerne les opérations en jeu : intégrales, dérivations, produits. Et puis on regarde les termes individuellement plus précisément : qui joue quel rôle ?

Sur ce, je vous invite à regarder d’un nouvel œil les mathématiques que vous écrivez ou lisez. D’ailleurs, je ne suis plus convaincu qu’il s’agisse d’écritures. Le dessin, dans lequel on voyage aussi, semble être une dénomination plus adaptée. Après tout, quel meilleur voyage que celui dans lequel on se perd, puis où l’on retrouve progressivement son chemin, en espérant se perdre à nouveau et ailleurs ?

Je vous laisse écouter en intégralité ma question et la réponse complète de Patrick Paillet quant aux signes géométriques. Je vous invite évidemment à écouter en intégralité cette émission.

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