Où suis-je ?

Chère auditrice, cher auditeur. Une fois de plus, j’ai envie de vous amener sur les chemins de la géométrie.
Déjà deux chroniques étaient à propos de la géométrie, ou plutôt de géométries au pluriel. Je vous avais proposé à chaque fois une petite expérience de pensée pour vous donner l’intuition de géométries différentes de celle à laquelle nous sommes habitués.
Ces géométries étaient la géométrie hyperbolique et la géométrie sphérique. Elles sont toutes deux dites non-euclidiennes, en raison du fait qu’elles sont différentes de la géométrie que vous connaissez déjà : la géométrie euclidienne.

Nous avons pour habitude de présenter la géométrie euclidienne comme étant la géométrie naturelle, celle qui nous entoure. Vous savez, on nous apprend bien à l’école que la somme des angles d’un triangle fait tout pile 180 degrés.
Pourtant, on pourrait imaginer que, par exemple, la géométrie hyperbolique soit la géométrie naturelle. Dans cette géométrie, la somme des angles d’un triangle est certes strictement plus petite que 180 degrés, mais pour de petites triangles c’est à peine détectable.
Cependant, on continue d’avoir une préférence pour la géométrie euclidienne.
Mais à part une raison culturelle et historique, il n’y a en fait pas de raison mathématique forte pour préférer la géométrie euclidienne aux autres. Certes, cela simplifie les calculs, mais c’est une raison technologique et non théorique pour une telle préférence.
Bref, nous avons donné sens à notre intuition avec une géométrie particulière, la géométrie euclidienne, alors que les géométries non-euclidiennes, à savoir sphérique et hyperbolique, auraient très bien pu remplir ce rôle.

Je peux vous deviner dubitatifs. Je soutiens que les géométries non-euclidiennes sont aussi naturelles que la géométrie euclidienne. Pourtant, vous avez bien l’intime impression que la géométrie euclidienne est celle que vous vivez.
Après tout, vous avez bien ressenti le fait qu’un triangle a la somme de ses angles égale à 180 degrés. Vous avez aussi l’intuition que par un point et une droite ne passant pas par ce point, il y passe toujours une droite parallèle à la première.
À cela, je réponds que vous avez une mauvaise image des géométries non-euclidiennes. Elles sont moins étrangères que vous ne pourriez le croire.
Et vos intuitions sont dues à votre éducation, à votre culture mathématique, plutôt qu’à une réalité objective.

Prenons par exemple la géométrie sphérique. Cette géométrie, nous avons pour habitude de la présenter comme étant la géométrie où les droites sont les grands arcs de cercles.
C’est en quelque sorte la géométrie de l’orange que l’on découpe en quartiers.
Avec une telle définition, on ne peut qu’être convaincu de son étrangeté. Présentée ainsi, c’est une géométrie où les droites sont courbes, donc pas droites. Pourquoi diable les mathématiciens auraient-ils décider d’appeler ça une géométrie, par ailleurs ?

Mais le fait que les droites sont courbes est uniquement du au fait que nous partons de la géométrie euclidienne pour décrire la géométrie sphérique. Nous pensons la géométrie sphérique dans la géométrie euclidienne, à laquelle elle ne peut être que étrangère. Si nous considérons la géométrie sphérique pour elle-même, les droites sont alors tout à fait droites.
En d’autres termes, c’est en raison de notre représentation des géométries non-euclidiennes, que l’on effectue à partir de la géométrie euclidienne, que nous avons cette impression d’étrangeté. Mais cette étrangeté est relative à la géométrie euclidienne. Les géométries non-euclidiennes ne sont pas en elle-même étranges.
C’est un peu comme lorsqu’on pense une langue comme étant étrangère. Elle n’est jamais que différente de la notre par rapport à la représentation que l’on s’en fait. Mais si nous vivons dans une langue différente, alors l’étranger devient le commun.
Le bilingue ne parle pas une langue et une langue étrangère, il parle deux langues qui lui sont communes toutes deux.

Ce changement de paradigme, ce n’est ni plus ni moins que ce que propose la théorie de la relativité générale d’Einstein.
En fait, cette théorie propose de penser un tel changement. Au lieu de penser notre espace comme étant euclidien, l’espace devient courbé, devient non-euclidien.
Dans l’espace-temps, les droites sont les trajectoires lumineuses. Et, en effet, votre cerveau comprend toutes ces trajectoires comme étant des droites. Vous n’avez pas l’impression que la lumière se propage autrement que selon une droite.
Et pourtant, si vous faites un triangle à l’aide de lasers suffisamment précis, vous pouvez mesurer le fait que la somme des angles ne fait pas 180 degrés, mais un peu plus.

La géométrie non-euclidienne de l’espace-temps vous semble commune et vous en faites donc une représentation idéalisée. Cette représentation, vous croyez à tort qu’il s’agit de la géométrie euclidienne parce qu’on vous a poussé à croire que la géométrie euclidienne était la géométrie normale.
Mais si on renverse la balance, on se rend compte que les géométries non-euclidiennes sont tout aussi normales que la géométrie euclidienne.

Je crois que tout cela nous invite à repenser nos sens, et nos interprétations sensibles.
S’il n’y a pas de géométrie plus naturelle que les autres, cela signifie aussi que notre intuition doit être lavée de ses a priori.
En un sens, les mathématiques peuvent à la fois nous enfermer dans des cadres de pensée, mais aussi nous ouvrir à d’autres.
Il n’y a qu’à voir l’effet qu’a eu la conception einsteinienne du temps sur les oeuvres artistiques. Le temps a été repensé de fond en comble, troublant à jamais les a priori que nous avions sur lui.
De la même façon, nous devons repenser notre rapport au lieu, à l’espace. Nous devons aussi repenser notre rapport à la représentation géométrique.

La question existentielle « Où suis-je ? » demande bien des efforts philosophique. Chacun des trois termes de cette question est difficile à appréhender : qu’est-ce que le je, que l’être, que le lieu ?
On ne peut pas espérer de réponse complète, mais je crois que la géométrie nous invite au moins à repenser la notion de lieu. Dans quelle géométrie sommes-nous ? Quel est le monde qui se présente à moi, et comment puis-je me le représenter ?
Je crois que nous avons là, une formidable opportunité créatrice. Un chemin, peut-être fructueux, nous invitant à bouleverser notre rapport au monde.

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