Décomposition KAN

D’après Quint, An overview of Patterson-Sullivan theory (poly).

On va s’intéresser ici à la décomposition \(KAN\) du groupe des isométries holomorphes, \({\rm PU}(n,1)\), de l’espace hyperbolique complexe, \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). On va montrer que \({\rm PU}(n,1) = KP\) avec \(K\) qui fixe \(0\) et est transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\), et \(P\) qui fixe \(1\) et est transitif sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\).

Ainsi, on va introduire une base de \(\mathbf{C}^{n,1}\) qui permette une telle description. On désigne par \(\tilde x\) l’image dans \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\) (ou \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\)) de \(x\in \mathbf{C}^{n,1}\) par rapport au modèle du disque. Pour rappel, avec les coordonnées canoniques de \(\mathbf{C}^{n,1}\), \((e_1,\dots,e_{n+1})\), la forme quadratique est \(Q(z) = |z_1|^2+\dots+|z_n|^2-|z_{n+1}|^2\) et le modèle du disque consiste à prendre \(z_{n+1}=1\) et à projeter sur les \(n\) premières coordonnées.

Le choix effectué pour notre étude sera de poser une nouvelle base \((f_1,\dots,f_{n+1})\) de sorte que \(\tilde f_1 = -1\) et \(\tilde f_{n+1} = 1\).

On désigne par \(K\) l’image dans \({\rm PU}(n,1)\) des isométries données par \[\begin{pmatrix}g & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \]avec \(g\in {\rm U}(n)\). En d’autres termes, \(K\) est le stabilisateur de \(0\) dans \({\rm PU}(n,1)\). Et \(0\) est le seul point fixe de \(K\) dans \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\).

Soit \(F\) la base orthonormée (par rapport à la forme quadratique \(Q\)) donnée par \[F = \left( \frac{e_{n+1}-e_1}{\sqrt 2} , e_2,e_3,\cdots,e_{n-1},e_n,\frac{e_{n+1}+e_1}{\sqrt 2} \right). \] Les coordonnées dans la base \(F\) seront données par \((w_1,\dots,w_{n+1})\) alors que celle de la base canonique seront \((z_1,\dots,z_{n+1})\). Dans cette base, puisque \(e_1 = (f_{n+1}-f_1)/ \sqrt 2\) et \(e_{n+1} = (f_{n+1}+f_1)/\sqrt 2\), \[Q(p) = |w_2|^2 + \dots + |w_{n}|^2 – 2\,{\rm Ré\ }(w_1\bar w_{n+1}).\]

Regardons les éléments isotropes. \[Q(p) = 0\iff |w_2|^2 + \dots + |w_n|^2 = 2 \,{\rm Ré\ }(w_1\bar w_{n+1})\] Ainsi, les seuls éléments de la base isotropes sont \(f_1\) et \(f_{n+1}\).

Pour \(t\in \mathbf{R}\), on désigne par \(a_t\) l’isométrie donnée dans les coordonnées de \(F\) par \[a_t = \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & 0\\ 0 & E_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 &e^{t}\end{pmatrix} .\]On désigne par \(A\) l’image de \(\left\{a_t \,\middle\vert\, t\in \mathbf{R}\right\}\) dans \({\rm PU}(n,1)\). C’est un sous-groupe abélien.

Dans les coordonnées de la base canonique, \[\begin{aligned} a_t e_1 &= a_t \frac{f_{n+1}-f_1}{\sqrt 2} \\ &= \frac 1 {\sqrt 2} (e^t f_{n+1} -e^{-t} f_1)\\ &= \frac 1{\sqrt 2} \left( e^t \left( \frac{e_{n+1} + e_1}{\sqrt 2} \right) – e^{-t} \left( \frac{e_{n+1} – e_1}{\sqrt 2} \right) \right) \\ &= e_1\frac{e^t + e^{-t}}2 + e_{n+1} \frac{e^t -e^{-t}}{2},\\ a_t e_{n+1} &= a_t\frac{f_{n+1}+f_1}{\sqrt 2}\\ &= e_1\frac{e^t – e^{-t}}{2} + e_{n+1}\frac{e^t + e^{-t}}{2},\end{aligned}\] d’où, dans les coordonnées de la base canonique, \[a_t = \begin{pmatrix} \cosh t & 0 & \sinh t\\ 0 & E_{n-1} & 0\\ \sinh t & 0 & \cosh t \end{pmatrix} .\]

Ainsi : \[\widetilde{a_t} 0 = \frac{\cosh t}{\sinh t} \tilde e_1.\]

Maintenant, soit \(N\) l’image des isométries dans \({\rm PU}(n,1)\) de \({\rm SU}(n,1)\) qui dans la base \(F\) s’écrivent \[n_{u,s} = \begin{pmatrix}1 &0 & 0 \\ u & E_{n-1} & 0 \\ \boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2 & -{^t}\bar u & 1\end{pmatrix} \] pour \(s\in \mathbf{R}\) et \(u\in \mathbf{C}^{n-1}\). On a bien \(Q(n_{u,s} f_k) = Q(f_k)\) pour \(k\) différent de \(1\). Pour \(k=1\), \[\begin{aligned} Q(n_{u,s} f_1) &= \|u\|^2 – 2 \,{\rm Ré\ }(\overline{\boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2}) \\ &= \|u\|^2 – \|u\|^2 = 0 = Q(f_1).\end{aligned}\]

Le sous-groupe \(A\) normalise \(N\) : \[\begin{aligned} a_t n_{u,s}a_{-t} &= \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & 0\\ 0 & E_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 &e^{t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &0 & 0 \\ u & E_{n-1} & 0 \\ \boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2 & -{^t}\bar u & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{t} & 0 & 0\\ 0 & E_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 &e^{-t}\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & 0\\ 0 & E_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 &e^{t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^t & 0 & 0 \\ e^t u & E_{n-1} & 0 \\ e^t(\boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2) & -{^t}\bar u & e^{-t} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ e^t u & E_{n-1} & 0 \\ e^{2t}(\boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2) & -e^t{^t}\bar u & 1 \end{pmatrix}\\ &= n_{e^t u,e^{2t} s}.\end{aligned}\]

Enfin, on pose \(M\) le sous-groupe de \({\rm PU}(n,1)\) qui s’écrivent dans la base \(F\) \[m_g = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & g & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \] avec \(g\in {\rm PU}(n-1)\). Encore une fois, \(A\) normalise (fortement) \(M\) puisque \(a_t m_g a_{-t} = m_g\). Aussi, \(M\) normalise \(N\) : \[\begin{aligned} m_g n_{u,s} m_{g^{-1}} &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & g & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 & 0 \\ u & E_{n-1} & 0 \\ \boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2 & -{^t}\bar u & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & g^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & g & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ u & g^{-1} & 0 \\ \boldsymbol{i}s + \|u\|^2 /2 & -{^t}\overline{gu} & 1 \end{pmatrix}= n_{gu,s}.\end{aligned}\]

Aussi, on remarquera que \(m_g e_n = e_n\) donc \(\tilde m_g\) laisse fixe \(0\in \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\).

En résumé : \[\begin{aligned} \widetilde{m_g 0} &= 0 \\ \widetilde{a_t 0} &= \frac{\cosh t}{\sinh t} \tilde e_1\end{aligned}\]

Lemme \(\cdot\) Le groupe \({\rm PU}(n,1)\) agit transitivement sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). Le groupe \(K\) agit transitivement sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\).

Preuve Le premier fait est déjà connu.

Si \(z\in \partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\), on peut supposer \(z_{n+1}=1\). Alors \[Q(z) = \sum |z_k|^2 -1 = 0\]donc \((z_1,\dots,z_n)\) est unitaire dans \(\mathbf{C}^n\). En complétant en une base unitaire, un élément de \(K\) envoie donc \(z\) sur \((1,0,\dots,0,1)\), d’où \(K\) transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). \(\square\)

Lemme \(\cdot\) On pose \(P = MAN\). On a \({\rm PU}(n,1) = KP = KAN\) et \(P\) est le stabilisateur de \(\mathbf{C}f_{n+1}= \xi_{n+1}\) (c’est \(1\) dans le modèle du disque). Pour tout \(\xi \in \partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\), le stabilisateur de \(\xi\), \(P_\xi\), est conjugué à \(P\) et \({\rm PU}(n,1) = KP_\xi\).

Preuve Il est clair que \(KP = KAN\) puisque \(M\) stabilise \(0\). Montrons donc que \({\rm PU}(n,1) = KAN\).

Pour cela, puisque \(K\) est le stabilisateur de \(0\), on montre que \(AN\) (donc \(P\)) agit transitivement sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). En effet, si \(\gamma\in {\rm PU}(n,1)\), alors il existerait \(g\in AN\) tel que \(g^{-1}\gamma g\) fixe \(0\), donc \(g\gamma g^{-1} \in K\).

Soit \(w=(w_1,\dots,w_{n+1})\) (dans les coordonnées de \(F\)) avec \(Q(w)<0\) (donc \(w_1,w_{n+1}\) non nuls).

On a \[\begin{aligned} n_{u,s} w &= w_1 \begin{pmatrix}1 \\ u \\ \boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2\end{pmatrix} + w_2 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ -\bar u_1\end{pmatrix} + \dots + w_k \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ -\bar u_k\end{pmatrix} +\dots + w_{n+1}f_{n+1}\\ &= w_1 f_1 + \left(\boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2 -(w_2,\dots,w_n){^t}\bar u + w_{n+1}\right) f_{n+1} + \sum_{k\neq 1,n+1}( w_1 u_{k-1} + w_k) f_k\end{aligned}\] On choisit \(u\) de sorte que les termes \(w_1 u_{k-1}+w_k\) soient nuls. C’est-à-dire \(u_{k} = -w_{k+1}/w_1\), en d’autres termes \(u=-(w_2,\dots,w_n)/w_1\). Il reste : \[n_{u,s} w = w_1 f_1 + \left(\boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2 + w_1 \|u\|^2 + w_{n+1} \right) f_{n+1}.\] On choisit \(s\) de sorte que la partie imaginaire de \(w_1\) soit égale à celle de la coordonnée en \(f_{n+1}\). De sorte qu’en divisant par la partie imaginaire, on obtienne \[n_{u,s} w = a f_1 + b f_{n+1} \] avec \(a\) et \(b\) réels. Comme \(Q(n_{u,s}w) = -2ab\), \(a\) et \(b\) sont du même signe. Donc \(n_{u,s}w\) est sur l’orbite de \(0 = (f_1+f_{n+1})/\sqrt 2\) par \(A\).

On montre que \(P\) est le stabilisateur de \(\xi_{n+1}\). Si \(p\) stabilise \(\xi_{n+1}\), alors par ce qui précède (par un élément de \(AN\)), on peut supposer que \(p(e_{n+1})=e_{n+1}\). Quitte à appliquer un élément de \(A\), on peut supposer que \(p(f_{n+1})=\lambda f_{n+1}\) avec \(|\lambda|=1\). Mais alors \(p\) laisse fixe \(f_{n+1}\) et aussi \(f_1\). Nécessairement, leurs valeurs propres sont \(1\) donc \(p\) appartient à \(M\).

Montrons que \(P_\xi\) est conjugué à \(P\). Il existe \(p\) tel que \(p^{-1} \xi=\xi_{n+1}\). Si \(q\) stabilise \(\xi\), alors \(p\) tel que \(pqp^{-1}\) stabilise \(\xi_{n+1}\). De même réciproquement, donc \(pP_\xi p^{-1} = P\). \(\square\)

Mettons un accent sur une partie de ce qui a été obtenu.

Lemme \(\cdot\) Le sous-groupe \(K\) agit transitivement sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\) en laissant fixe \(e_{n+1}\). Le sous-groupe \(P\) agit transitivement sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\) en laissant fixe \(f_{n+1}\).

En d’autres termes, si l’on regarde le modèle du disque, on peut décomposer tout élément de \({\rm PU}(n,1)\) comme le produit \(kp\) d’un élément \(k\) laissant fixe \(0\) et d’un élément \(p\) laissant fixe \(1\).

Cas réel

Le cas réel est totalement analogue. La décomposition peut se faire de même (on prendra seulement \(n_{u,s}\) avec toujours \(s=0\)).

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