Ensemble limite et structure complète

Cette note propose d’exprimer clairement le lien permettant de montrer qu’une structure est complète lorsque le groupe d’isométrie est discret et la développante évite au moins deux points.

Ensemble limite

Soit \(\Gamma\) un groupe discret agissant par isométrie sur \(Y\) une variété de vision (voir note précédente). Alors \(L(\Gamma)\) est l’ensemble limite de \(\Gamma\).
On peut montrer (voir l’article de Kulkarni et l’article de Kamishima-Odebiyi) que \(\Omega = X-L(\Gamma)\) est le domaine de discontinuité de \(\Gamma\) : son action est proprement discontinue sur \(\Omega\).

De plus, l’ensemble limite a une propriété de minimalité (voir note précédente) : si \(\Lambda\subset X\) a au moins deux points et est totalement invariant par \(\Gamma\), alors \(L(\Gamma)\subset\Lambda\).

Développante

À présent, on considère \(M\) une variété compacte munie d’une \((G,X)\)-structure, avec \(X=\partial Y\) comme dans le premier paragraphe. (Par exemple, on peut regarder les structures CR sphériques avec \((G,X) = ({\rm PU}(n+1,1), S^{2n+1})\) et \(Y = \mathbf H^{n+1}_{\mathbf C}\).)

On montre l’énoncé suivant. Si la développante \(D:\tilde M \to X\) évite deux points, si \(\Gamma = \rho(\pi_1(M))\), son holonomie, est discret, alors \(D\) est un revêtement sur son image.

Comme \(X-D(\tilde M)\) a au moins deux points, il contient \(L(\Gamma)\). Donc \(\Gamma\) est proprement discontinue sur \(D(\tilde M)\).

La paire développante \((\rho,D)\) peut être réduite à \[(\rho,D) : (\pi_1(M),\tilde M) \to (\Gamma, \Omega).\] Maintenant, comme \(\Gamma\) agit proprement discontinument, \(\Omega\) a une métrique \(\Gamma\)-invariante. La métrique tirée en arrière fait de \(D\) une isométrie locale. Le quotient \(M=\tilde M/\pi_1(M)\) est compact. Comme une isométrie locale d’un espace complet est un revêtement, \(D\) est un revêtement sur son image.\(\square\)

On remarquera pour conclure que si l’image de la développante est simplement connexe, alors la variété est uniformisable.

Raffinements

Dans l’article de  Kamishima-Odebiyi, il est montré le résultat suivant. Si la développante d’une variété compacte CR sphérique évite un point, alors c’est un revêtement.

Dans l’article de Mastumoto (voir aussi celui de Kamishima), il est montré que si la développante d’une variété compacte (de dimension au moins trois) conforme plate n’est pas surjective, alors c’est un revêtement.

Références

Kamishima, Conformally Flat Manifolds whose Development Maps are not Surjective, (1986).
Kamishima, Odebiyi, On the limit sets of spherical CR manifolds, (2009).
Kulkarni, Groups with Domains of Discontinuity, (1978).
Matsumoto, Foundations of Flat Conformal Structure, (1992).

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