Géométrie conforme, groupe des transformations de Möbius

D’après Matsumoto, Foundations of Flat Conformal Structures.

On appelle structure conforme plate la \((G,X)\)-structure \((\mathcal{M}(\mathbf{S}^n),\mathbf{S}^n)\)\(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) est le groupe de transformations de Möbius de la sphère.

L’objectif va être de décrire plus précisément la constitution du groupe \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) ainsi que d’expliquer le lien entre cette structure et les structures géométriques homogènes isotropes euclidienne, hyperbolique et sphérique.

Il s’avère que la description du groupe de Möbius nous donnera le résultat suivant.

Proposition \(\cdot\) On a les inclusions de \((G,X)\) paires suivantes : \[\begin{aligned} &({\rm Isom}(\mathbf{R}^n), \mathbf{R}^n) \subset(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf R^n}), \widehat{\mathbf{R}^n}) \simeq (\mathcal{M}(\mathbf{S}^n), \mathbf{S}^n) ,\\ &({\rm Isom}(\mathbf D^n), \mathbf D^n) = (\mathcal{M}(\mathbf{S}^{n-1}), \mathbf D^n) \subset(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}}),\widehat{\mathbf{R}^{n}}) \simeq (\mathcal{M}(\mathbf{S}^n),\mathbf{S}^n),\\ &({\rm Isom}(\mathbf{S}^n), \mathbf{S}^n) \subset(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n),\mathbf{S}^n).\end{aligned}\]

Ce qui explique pourquoi les structures conformes plates sont centrales. Toute variété ayant une structure géométrique hyperbolique, euclidienne ou sphérique a une structure conforme.

Lors de l’étude de \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\), nous montrerons le fait suivant.

Théorème \(\cdot\) Le groupe \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) est précisément le groupe des isométries hyperboliques de \(\mathbf D^{n+1}\).

En d’autres termes, la structure \((\mathcal{M}(\mathbf{S}^n),\mathbf{S}^n)\) consiste à prendre les isométries de \(\mathbf D^{n+1}\) et à les restreindre au bord du compactifié métrique, à savoir \(\mathbf{S}^n\).

Le groupe des transformations de Möbius

Dans cette section nous allons décrire le groupe de transformation de Möbius de façon plus précise. Nous allons également comprendre assez finement le comportement des différents éléments de ce groupe.

Définition \(\cdot\) On dira d’une matrice \(A\) qu’elle est conforme si \(A=\lambda P\) avec \(P\in {\rm O}(n)\) et \(\lambda >0\).

Ces matrices préservent bien les angles (mais pas les longueurs), d’où la dénomination conforme.

On considère \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) le compactifié topologique de \(\mathbf{R}^n\) : \(\widehat{\mathbf{R}^{n}} = \mathbf{R}^n\cup \{\infty\}\). On utilisera sur \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) les coordonnées euclidiennes ainsi que la norme euclidienne (lorsque le point est fini). De façon classique, on munit \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) d’une structure de variété lisse en prenant les projections stéréographique de pôle \(0\) et \(\infty\). Le changement de carte étant conforme, une application différentiable sera dite conforme si ses différentielles le sont.

Le groupe des transformations de Möbius va être le groupe engendré par les exemples d’applications conformes suivants.

On appelle sphère de dimension \(p\) de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) une sphère métrique de dimension \(p\) de \(\mathbf{R}^n\) ou alors la compactification d’un sous-espace affine de dimension \(p\). On dira aussi qu’une telle sphère qu’elle est de codimension \((n-p)\).

Si \(\sigma\) est une sphère de codimension une de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\), alors on définit l’application d’inversion, \(J_\sigma : \widehat{\mathbf{R}^{n}} \to \widehat{\mathbf{R}^{n}}\) de la façon suivante.

  • Si \(\sigma\) est une sphère centrée en \(a\) et de rayon \(r\), alors \[J_\sigma(x) = a + \frac{r^2}{\|x-a\|^2}(x-a) .\]

  • Si \(\sigma\) est un hyperplan affine, alors \(J_\sigma\) est la réflection par rapport à ce plan.

Ainsi, une inversion \(J_\sigma\) est un difféomorphisme renversant l’orientation et dont l’ensemble laissé fixe est précisément \(\sigma\). Aussi, une inversion est une application conforme.

Il s’avère que les points à l’intérieur de \(\sigma\) sont envoyés à l’extérieur, et inversement. Dans le cas d’une réflexion, c’est clair. Dans le cas où \(\sigma\) est une sphère, on remarque que \[ \|x-a\| < r \iff \frac{r^2}{\|x-a\|} > r.\]

Définition \(\cdot\) Le groupe des transformations de Möbius de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\), \(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}})\), est le groupe engendré par les inversions (pour la composition des applications).

Proposition \(\cdot\) Les transformations de Möbius de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) envoient sphères de dimension \(p\) sur sphères de dimension \(p\). Les applications suivantes sont des transformations de Möbius : les translations \(x\mapsto x+a\), les transformations linéaires conformes \(x\mapsto Ax\)\(A\) est une matrice conforme.

Le lemme suivant est le point crucial pour l’étude des transformations de Möbius.

Lemme \(\cdot\) Soit \(f\) une transformation de Möbius de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\). Si \(f(0)=0\), \(f(\infty)=\infty\) et \(\mathop{\mathrm{{}d}}\mathopen{}f_0 = E\) alors \(f={\rm id}\).

En d’autres termes, une transformation de Möbius est définie par l’image de deux points et sa différentielle en \(0\). Ce lemme montre donc que :

Proposition \(\cdot\) Soit \(f\) une transformation de Möbius de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\). Si \(f(\infty)=\infty\) alors il existe \(A\) matrice conforme et \(b\in \widehat{\mathbf{R}^{n}}\) tels que \[f(x) = Ax+b .\] Si \(f(\infty)\neq \infty\), alors en désignant par \(J\) l’inversion, il existe \(A\) matrice conforme et \(b,c\in \widehat{\mathbf{R}^{n}}\) : \[f(x) = AJ(x-b) +c .\]

Preuve Les transformations de Möbius envoient cercles sur cercles. Donc, puisque \(f(0)=0\) et \(f(\infty)=\infty\), \(f\) envoie une droite passant par \(0\) sur une droite passant par \(0\). Mais alors \(f\) préserve aussi les sphères centrées en \(0\) puisque \(f\) est conforme (et préserve donc l’orthogonalité d’un vecteur tangent à la sphère à une droite passant par \(0\)).

Comme \(\mathop{\mathrm{{}d}}\mathopen{}f_0=E\), \(f\) préserve chaque droite en l’origine, donc partout. Ainsi, sur la sphère \(\|x\|=r\) qui est envoyée sur \(\|x\|=R\) , \(f(x) =x R/r\). Comme \(f\) est conforme, le rapport \(R/r\) est constant, donc égal à \(1\) puisque \(\mathop{\mathrm{{}d}}\mathopen{}f_0=E\). \(\square\)

Pour terminer cette première approche, on cite le théorème de Liouville. Ce théorème n’est valable qu’en dimension \(n\geq 3\) et est un résultat difficile.

Théorème Liouville \(\cdot\) Soit \(f:U\to \widehat{\mathbf{R}^{n}}\) une application conforme, avec \(U\) un domaine. Alors \(f\) est la restriction d’une transformation de Möbius.

Ce théorème permet de montrer qu’en dimension au moins trois, les deux \((G,X)\)-structures : \(({\rm Conf}(\widehat{\mathbf{R}^{n}}),\widehat{\mathbf{R}^{n}})\) et \((\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}}),\widehat{\mathbf{R}^{n}})\) sont égales. En effet, la différence a priori serait la présence d’éléments dans \({\rm Conf}(\widehat{\mathbf{R}^{n}})\) dont le domaine ne serait pas \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) ou dont le prolongement ne serait pas une transformation de Möbius, mais le théorème de Liouville permet de contredire ces possibilités.

En dimension deux, il s’avère que le théorème de Riemann de l’application conforme donne beaucoup d’exemples d’applications conformes qui ne sont pas des transformations de Möbius.

Lien avec les autres géométries

À présent, on va décrire comment passer du groupe des transformations de Möbius de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) à celui de \(\mathbf{S}^n\). Ici, il est important de faire la distinction suivante : même si \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) et \(\mathbf{S}^n\) sont difféomorphes, il n’est pas clair a priori que \(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}}) \simeq \mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\). C’est bien vrai, et c’est l’objet de cette section.

Commençons par construire le groupe \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\). On considère l’inclusion canonique \(\iota : \mathbf{R}^{n}\to \mathbf{R}^{n+1}\) prolongé en le plongement \(\iota : \widehat{\mathbf{R}^{n}}\to \widehat{\mathbf{R}^{n+1}}\) (en envoyant l’infini à l’infini). Ainsi, \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) est considéré comme le sous-espace \(x_{n+1} = 0\) de \(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}}\).

Si on a une inversion \(J_\sigma\) de \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) alors on peut la prolonger en une inversion \(J_\tau\) de \(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}}\) en choisissant \(\tau\) orthogonal à \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) et de sorte que \(\tau \cap \widehat{\mathbf{R}^{n}} = \sigma\). (Pour rappel, \(\sigma\) et \(\tau\) sont des sphères de codimension une dans leurs espaces respectifs.) En effet, une telle inversion préserve \(\widehat{\mathbf{R}^{n}}\) par orthogonalité et préserve \(\sigma\). Donc prolonge bien \(J_\sigma\) par unicité (voir lemme précédent). Ainsi, on obtient un morphisme injectif de groupes : \[i :\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}}) \to \mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}}). \]

À présent, considérons la sphère usuelle \(\mathbf{S}^n\subset\widehat{\mathbf{R}^{n+1}}\). Si \(\tau\) est une sphère orthogonale à \(\mathbf{S}^n\), alors l’inversion \(J_\tau\) préserve \(\mathbf{S}^n\) et agit donc comme une transformation conforme sur \(\mathbf{S}^n\). Le groupe de ces inversions \(J_\tau\) forme le groupe \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\). On a bien sûr aussi le morphisme injectif \[ j : \mathcal{M}(\mathbf{S}^n) \to \mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}}).\]

Proposition \(\cdot\) Les groupes \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) et \(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}})\) sont isomorphes.

En fait, la différence entre ces groupes est la même qu’entre le modèle du disque et le modèle du demi-plan pour l’espace hyperbolique. Le groupe \(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}})\) va être le groupe des transformations du demi-plan et \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) celui du disque.

Preuve On définit une transformation \(v\in \mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}})\) par \(v = T\circ J_2\circ J_1\) avec \(J_1\) la réflexion par rapport à \(x_{n+1} = -1/2\), \(J_2\) l’inversion par rapport à la sphère \(\|x\|^2 = 2\) et \(T\) la translation de vecteur \((0,\dots,0,1)\). On peut constater que \(v(\widehat{\mathbf{R}^{n}}) = \mathbf{S}^n\) et \(v(\mathbf H^n) = \mathbf D^n\).

On définit maintenant l’isomorphisme : \[c_v (f) = v\circ f \circ v^{-1}. \] Cet isomorphisme envoie \(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}})\) sur \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\), ce qui est bien ce qu’on voulait. \(\square\)

Dans le cas \(n=2\), où l’on identifie \(\mathbf{R}^2\) avec \(\mathbf{C}\). On a : \[\begin{aligned} J_1(z) &= x – \boldsymbol{i}y – \boldsymbol{i}= \bar z – \boldsymbol{i},\\ J_2(z) &= \frac{2}{|z|^2}z = \frac{2}{\bar z}, \\ T(z) &= z + \boldsymbol{i}. \end{aligned}\] Ce qui nous donne : \[\begin{aligned} v(z) &= \boldsymbol{i}+ \frac{2}{z+\boldsymbol{i}} \\ &= \frac{2 + \boldsymbol{i}z – 1}{z+\boldsymbol{i}}\\ &= \frac{1 + \boldsymbol{i}z}{z+\boldsymbol{i}}\\ &= \boldsymbol{i}\frac{z – \boldsymbol{i}}{z+\boldsymbol{i}}. \end{aligned}\]

Si on pose à présent \(\mathbf D^{n+1} := \{\|x\|<1\}\) et \(\mathbf H^{n+1} := \{x_{n+1}>0\}\), alors on a le fait suivant.

Proposition \(\cdot\) On a : \[\begin{aligned} &\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}}) = \left\{f \in \mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}}) \,\middle\vert\, f(\mathbf H^{n+1}) = \mathbf H^{n+1}\right\},\\ &\mathcal{M}(\mathbf{S}^n) = \left\{f \in \mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}}) \,\middle\vert\, f(\mathbf D^{n+1}) = \mathbf D^{n+1}\right\}.\end{aligned}\]

Preuve Par ce qui précède, il suffit de montrer la première égalité. De plus, l’inclusion est claire par ce qui précède aussi.

Soit \(f\in \mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n+1}})\) telle que \(f(\mathbf H^{n+1})=\mathbf H^{n+1}\). On va donc montrer que \(f\in \mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}})\).

Si \(f(\infty)=\infty\) alors \(f(x) = Ax +b\) avec \(b\in \widehat{\mathbf{R}^{n}}\). Puisque \(A\) préserve \(\mathbf H^n\), on doit avoir \(A(0,\cdots,0,x) = (0,\cdots,\lambda x)\) avec \(\lambda >0\). Donc en fait \(f:\widehat{\mathbf{R}^{n}} \to \widehat{\mathbf{R}^{n}}\) est bien un élément de \(\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}})\), puisque \(A|_{\mathbf{R}^n}\) est encore une matrice conforme. \(\square\)

À présent, nous allons montrer que \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) est le groupe des isométries hyperboliques de \(\mathbf D^n\). Pour cela, nous allons faire usage du lemme suivant.

Lemme \(\cdot\) Soit \(G\) un groupe de Lie agissant transitivement et par isométries sur une variété riemannienne \(M\) connexe. Si les dérivations donnent un isomorphisme \(G_x\simeq {\rm O}(n)\), alors \(G\) est le groupe des isométries de \(M\).

Preuve Soit \(f\) une isométrie de \(M\). Par transitivité, il existe \(g\in G\) telle que \(g^{-1}(f(x)) = x\) et \(\mathop{\mathrm{{}d}}\mathopen{}(g^{-1}\circ f)_x = E\). Mais alors \(g^{-1}\circ f\) laisse fixe toute géodésique partant de \(x\), donc \(g^{-1}\circ f= \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). \(\square\)

Théorème \(\cdot\) Le groupe \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) est le groupe des isométries hyperboliques de \(\mathbf D^n\).

Preuve On montre tout d’abord que si \(f\in \mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) et \(x\in \widehat{\mathbf{R}^{n+1}}-\mathbf{S}^n\), alors \[\|\mathop{\mathrm{{}d}}\mathopen{}f_x \| = \frac{1-\|f(x)\|^2}{1-\|x\|^2}, \]ce qui montrera que les éléments de \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) sont des isométries hyperboliques.

Ce fait est bien sûr compatible avec la composition, par dérivation des fonctions composées. Il suffit donc de montrer ce résultat pour \(J_\sigma\) avec \(\sigma\) une sphère orthogonale à \(\mathbf{S}^n\). (Le cas où \(\sigma\) est un hyperplan n’est pas difficile : il doit passer par zéro et donc la réflexion laisse stable la norme de \(\|x\|\).)

On a \[J_\sigma (x) = a + \frac{r^2}{\|x-a\|^2}(x-a) = a \left(1 – \frac{r^2}{\|x-a\|^2}\right)  + x \frac{r^2}{\|x-a\|^2}\] donc \[\| \mathop{\mathrm{{}d}}\mathopen{}(J_\sigma)_x \| = \frac{r^2}{\|x-a\|^2}.\]

Maintenant, puisque \(\sigma\) est orthogonale à \(\mathbf{S}^n\), \(\|a\|^2 = r^2+1\). En utilisant \[\| J_\sigma(x) \|^2 – 1 = \frac{r^2}{\|x-a\|^2}(\|x\|^2-1) \] on a bien \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) inclus dans les isométries de \(\mathbf D^{n+1}\).

Pour conclure, on va utiliser le lemme avec le fait suivant, qui montre la transitivité. Pour tout \(a\in \mathbf D^{n+1}\), il existe \(f\in \mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) tel que \(f(0)=a\).

Soit \(\ell\) la demi-droite passant par \(0\) et \(a\). On considère, pour \(x\in \ell\), la sphère \(\sigma_x\) qui passe par \(x\) orthogonalement à \(\ell\) et est orthogonale à \(\mathbf{S}^n\). On regarde \(J_{\sigma_x}\) son inversion. Quand \(x =0\) on a \[\lim_{x\to 0} J_{\sigma_{x}}(0) = 0 \text{ et }\lim_{x\to b} J_{\sigma_x}(0)=b\] pour \(b\) le point de \(\ell\cap \mathbf{S}^n\). Par continuité, il existe bien un \(x\in \ell\) tel que \(J_{\sigma_x}(0)=a\). \(\square\)

Pour conclure notre développement et démontrer la proposition de l’introduction, il nous reste à montrer que : \[{\rm Isom}(\mathbf{R}^n) \subset\mathcal{M}(\widehat{\mathbf{R}^{n}}) \text{ et }{\rm Isom}(\mathbf{S}^n) \subset\mathcal{M}(\mathbf{S}^n). \] Cela provient des faits classiques : \({\rm Isom}(\mathbf{S}^n) = {\rm O}(n+1)\) et \(f\) est une isométrie euclidienne si \(f(x) = Ax + b\) avec \(A\) orthogonale.

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