Groupe de Heisenberg

À la note précédente, la décomposition KAN du groupe des isométries de l’espace hyperbolique réel ou complexe a introduit un groupe un peu compliqué : N. Cette note étudie un peu sa structure et explique pourquoi elle permet de voir la différence entre structure conforme et structure CR.

On va s’intéresser ici à la structure du groupe \(N\), donné par les transformations \[n_{u,s} = \begin{pmatrix}1 \\ u & E_{n-1} \\ \boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2 &{^t}\bar u & 1\end{pmatrix}. \]

Il est assez difficile de comprendre par le calcul sa structure sans faire appel à une nouvelle structuration. Il s’avère que \(N\) va exprimer la structure de contact en jeu dans la géométrie CR.

La composition : \[\begin{aligned} n_{u,s}n_{v,t} &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ u & E_{n-1} & 0 \\ \boldsymbol{i}s + \|u\|^2/2 &{^t}\bar u & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0&0\\ v & E_{n-1}&0 \\ \boldsymbol{i}t + \|v\|^2/2 &{^t}\bar v & 1\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}1&0&0 \\ u + v & E_{n-1} &0\\ \boldsymbol{i}(s+t) +( \|u\|^2+\|v\|^2)/2 +{^t}\bar u v&{^t}\overline{u+v} & 1\end{pmatrix}\end{aligned}\] avec \[\|u+v\|^2 = \|u\|^2+\|v\|^2 + 2\,{\rm Ré\ }(u\bar v), \; {^t}\bar u v = \,{\rm Ré\ }(\bar u v) + \boldsymbol{i}\,{\rm Im\ }(\bar u v)  \] qui donne \[(\|u\|^2+\|v\|^2)/2 + {^t}uv = \|u+v\|^2/2 – \,{\rm Ré\ }(u\bar v) + \,{\rm Ré\ }(\bar u v) +\boldsymbol{i}\,{\rm Im\ }(\bar u v) \] on obtient \[n_{u,s}n_{v,t} = n_{u+v, s+t + \,{\rm Im\ }(\bar u v)}. \]

Ce qui suggère de considérer le groupe de Heisenberg donné par les couples \((u,s)\) pour \(u\in \mathbf{C}^{n-1}\) et \(s\in \mathbf{R}\), avec \[(u,s)+(v,t) = (u+v,s+t + \,{\rm Im\ }(\bar u v)). \] On désignera ce groupe par \(\mathcal N\).

Cas réel

Dans le cas réel, on évitera de parler de groupe de Heisenberg puisqu’il s’avère qu’il s’agit du groupe additif habituel \(\mathbf{R}^{n-1}\). Par la suite, on s’intéressera exclusivement au cas complexe lorsqu’on parlera du groupe de Heisenberg, \(\mathcal N\).

On constate que \(\mathcal N\) a bien une structure de groupe de Lie. On constate aussi que \(\mathcal N\) est simplement connexe et métriquement complète. On peut donc parler des similitudes de \(\mathcal N\). Elles sont données par \[{\rm Sim}(\mathcal N) = (\mathbf{R}^+\times {\rm U}(n-1) )\rtimes \mathcal N. \] La comparaison entre \({\rm Sim}(\mathcal N)\) et \(MAN\) est séduisante : \(M\) ressemble à \({\rm U}(n-1)\), \(A\) est isomorphe à \(\mathbf{R}^+\) et \(\mathcal N\) devrait ressembler à \(N\). Il s’avère que l’on va montrer que \(P\subset{\rm Sim}(\mathcal N)\).

Lemme \(\cdot\) L’orbite de \(f_1\) par \(N\) est égale à \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}-\{1\}\). En particulier, \(N\) est transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}-\{1\}\).

Preuve L’inclusion est claire puisque \(N\) agit par isométries sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\) et que \(1\) est fixe.

Soit \(x\in\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}-\{1\}\). Tout représentant de \(x\) s’écrit \(\lambda f_1 + u + z f_{n+1}\) avec \(u=\sum u_kf_k\) dans \(\mathbf{C}^{n-2}\). Si \(\lambda =0\) alors \(Q(x) = \|u\|^2\) donc \(x=zf_{n+1}\) mais c’est impossible puisque par hypothèse \(x\neq 1\). Donc \(\lambda \neq 0\) et on peut supposer \(\lambda =1\).

La condition \(Q(x)=0\) donne \[\|u\|^2 – 2 \,{\rm Ré\ }(\lambda \bar z) = \|u\|^2 – 2\,{\rm Ré\ }(z) = 0. \] Donc \(z = \|u\|^2/2 + \boldsymbol{i}s\) pour un certain \(s\) réel. L’image de \(f_1\) par \(n_{u,s}\) donne précisément \(z\). \(\square\)

Lemme \(\cdot\) L’action de \(N\) sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}-\{1\}\) est libre.

Preuve On a que \(-1=\tilde f_1\) est fixe par \(n_{u,s}\) si, et seulement si \((u,s)=(0,0)\). Maintenant si \(x\in \mathbf{H}^n_\mathbf{C}-\{-1\}\) est laissé fixé par \(n_{u,s}\) alors, par transitivité, \((u,s)=(0,0)\). \(\square\)

Puisque l’action est libre, on peut identifier \(N\) à \(\mathcal N\) (l’isomorphisme étant donné par \((u,s)\mapsto n_{u,s}\)). Comme l’action est transitive, on peut identifier \(\mathcal N\) à l’orbite de \(-1\), c’est-à-dire \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}-\{1\}\).

Cas réel

On a encore que \(N\) est transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{R}-\{1\}\) et que l’action est également libre. Ainsi on une identification naturelle entre \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{R}-\{1\}\) et \(\mathbf{R}^{n-1}\), qui correspond à la compactification : \(\mathbf{S}^{n-1}-\{\infty\}\simeq \mathbf{H}^n_\mathbf{R}-\{1\}\). À noter que cette identification est conforme puisque dans le cas réel \(N\) est isométrique à \(\mathbf{R}^{n-1}\). Alors que dans le cas complexe, la compactification n’est pas isométrique à \(\mathcal N\).

On a ainsi montré le résultat suivant.

Théorème \(\cdot\) On a les inclusions suivantes de \((G,X)\)-structures. \[({\rm PU}(n,1)_1,\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}-\{1\})\subset({\rm Sim}(\mathcal N),\mathcal N),\] \[({\rm PO}(n,1)_1,\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{R}-\{1\}) \subset({\rm Sim}(\mathbf{R}^{n-1}),\mathbf{R}^{n-1}). \]

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