Sur les variétés de dimension trois et les classes de Stiefel-Whitney

On se pose ici la question de la réalisation par des bases fermées lisses des différentes combinaisons de classes totales de Stiefel-Whitney.
En d’autres termes, on étudie l’existence de fibrés vectoriels \(E\to M\) tels que \(M\) est une variété fermée de dimension trois (donc peut être supposée lisse) et de sorte que \(w(E) = 1 + w_1+w_2+w_3\) avec \(w_1,w_2,w_3\) nul si et seulement si cela est demandé.
Par exemple, pour réaliser la classe triviale, on prend n’importe quelle base fermée sur laquelle on met un fibré trivial. Pour réaliser la classe \(1+w_1\) on peut par exemple prendre le fibré tautologique sur \(\mathbf R\mathbf P^3\).

Pour étudier le cas général en dimension trois, on fera grand usage de la première formule de Wu : \[{\rm Sq}^1(w_2)=w_1w_2+w_3.\] Sa preuve peut se faire par une simple récurrence et splitting-principle.

Il s’avère que tous les cas de figures possibles sont réalisables par des sommes de fibrés tautologiques sur \(\mathbf{RP}^3\) ou sur \(\mathbf{RP^2}\times[0,1]\) un peu modifiée pour obtenir une variété fermée.
Le cas difficile est donc le suivant : existe-t-il un fibré vectoriel \(E\to M^3\) de base fermée, tel que : \[w(E) = 1+w_2+w_3\] avec \(w_2\) et \(w_3\) non nuls ?

On peut montrer sans grande difficulté avec les homomorphismes de Bockstein et la formule de Wu que :

  • Le fibré ne peut pas être un fibré tangent ou normal à \(M\).
  • \(M\) n’est pas orientable.
  • Tous les éléments de \(H^2(M;\mathbf Z/2\mathbf Z)\) ne sont pas des carrés.

Si on suppose donc que \(H^3(M;\mathbf Z)=\mathbf Z/ 2\mathbf Z\) alors par dualité de Poincaré et avec les morphismes de Bockstein : \[\begin{align*}H_0(M;\mathbf Z) &= \mathbf Z \\ H_1(M;\mathbf Z) &= L_1\oplus T_1 \\ H_2(M;\mathbf Z) &= L_2 \oplus \mathbf Z/2\mathbf Z \\ H_3(M;\mathbf Z) &= 0.\end{align*}\]\(L_i, T_1\) sont respectivement libres et de torsion.
En supposant que le morphisme de Bockstein \(\tilde{\beta}\) est injectif (le noyau de ce morphisme est contenu dans le noyau du carré de Steenrod), on obtient que \(L_2=0\), \(L_1=\mathbf Z\) et \(T_1\otimes \mathbf Z/2\mathbf Z = 0\).

On cherche donc \(M\) telle que \[\begin{align*} H_0(M;\mathbf Z) &= \mathbf Z \\H_1(M;\mathbf Z) &= \mathbf Z \oplus T_1 \\ H_2(M;\mathbf Z) &= \mathbf Z/2\mathbf Z \\ H_3(M;\mathbf Z) &= 0.\end{align*}\]

Ce n’est pas encore clair si une telle variété peut, ou non exister. Plus généralement, la réalisation d’homologies par des variétés reste un problème très difficile.
Aussi, on sait qu’il n’existe pas de raison évidente pour laquelle la réalisation de cette classe de Stiefel-Whitney serait impossible, puisqu’en dimension cinq il est possible de la réaliser (avec la variété de Wu).

On trouvera des preuves et un exposé plus complets dans mon mémoire.

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