Traits tirés

Chère auditrice, cher auditeur. Cela fait environ un an que j’ai proposé des expériences de pensées géométriques (ici et ici). Comme l’auto-plagiat est déconseillé, je me suis dit que je pourrais essayer d’approcher la question de la géométrie du monde par une autre porte d’entrée.
Quoi de plus simple qu’une droite ? Imaginons-nous l’espace d’un instant en train d’observer une droite, qui pourrait par exemple s’incarner en un faisceau de lumière.

Toute géométrie, qu’elle soit euclidienne (c’est-à-dire celle que vous connaissez) ou non-euclidienne (par exemple celles de la surface d’une orange ou d’une feuille de salade) a des droites. Quand on manipule des surfaces, une droite c’est une pliure. Pliez une feuille de papier et vous obtiendrez la droite euclidienne que vous connaissez, pliez une feuille de salade et vous obtiendrez une droite hyperbolique, qui est non-euclidienne.
Mais aujourd’hui, on va s’éloigner des pliures pour s’intéresser à des espaces. Plier un espace ce n’est pas tellement dans nos cordes, on va donc devoir songer à un équivalent métaphorique.

Dans la relativité générale d’Einstein, qui n’est jamais qu’une théorie géométrique de la gravité, c’est-à-dire que la gravité est comprise comme étant une donnée géométrique de l’espace-temps, ce sont les faisceaux lumineux qui sont les droites de l’espace-temps.
La trajectoire d’un photon se fait exactement, et par définition, le long des droites de l’espace-temps quadridimensionnel. Nous voilà donc en présence de droites en dimension quatre. Encore raté, il nous faut des droites en dimension trois.

Heureusement pour nous, une façon de faire est d’imaginer ces mêmes faisceaux lumineux et des les imprimer, c’est-à-dire voir toute la trajectoire d’un coup d’œil, et non seulement une position ponctuelle à chaque instant. On se retrouve avec des sortes de faisceaux qui sont tels des lasers heurtés à du brouillard, laissant apparaître de jolies droites lumineuses.
Ce faisant, on perd la physique du temps, mais ce n’est pas si mal pour s’imaginer des droites.

Reprenons donc notre expédition. Nous voilà en présence d’une droite, vue comme un faisceau de lumière. Pour l’instant, il est très difficile de dire si notre géométrie est très courbée ou non ou, pour dire en des termes physiques, s’il y a de la gravité ou non ou même de l’anti-gravité.
Ce qu’il faut faire, c’est trouver une deuxième droite parallèle. Pour cela, imaginez que vous ayez un pointeur laser de sorte à ce que quand vous l’activez, vous voyez apparaître la trajectoire lumineuse.
Pour créer deux droites parallèles, il vous faut choisir une direction, activer une première fois le laser, puis marcher un peu mais en gardant la direction de votre corps fixe, c’est-à-dire en ne bougeant rien au-dessus du bassin, et activer une deuxième fois le laser.

Les deux faisceaux lumineux créés sont alors deux droites parallèles. Si vous êtes dans un monde sans gravité, alors ces deux droites restent constamment à même distance. C’est le monde euclidien : deux droites parallèles ont un segment perpendiculaire aux deux de taille constante.
Si vous êtes dans un monde avec de la gravité, comme le notre, alors les droites parallèles auront tendance à se rapprocher. C’est ce qu’on appelle la géométrie sphérique. D’ailleurs, toutes les droites s’intersectent dans la géométrie sphérique. Tout comme sur une orange, si vous prenez deux rubans de papier et que vous les faites avancer en les posant bien à plat sur l’orange, ils vont finir par se croiser.
Enfin, si vos droites parallèles ont tendance à s’éloigner, c’est que vous êtes en présence de la géométrie hyperbolique. Dans cette géométrie, qui est la géométrie de l’anti-gravité, toutes les choses ont tendance à s’éloigner les unes des autres avec le temps.

Quel monde étrange ! Mais aussi quel monde spacieux ! Tout comme la feuille de salade a beaucoup de surface par rapport à sa circonférence, le monde hyperbolique est très grand. Si vous faisiez un tour sur vous-même avec les bras étendus, tel un danseur, vous auriez l’impression d’avoir les bras qui trainent. En fait, l’air que brassent vos bras en tournant est bien plus important que dans le monde euclidien.

Ce qui me semble vraiment intéressant avec ce petit test, c’est qu’il cache une profondeur historique. Après tout, les premières géométries non-euclidiennes ont été pensées pour contredire l’axiome des parallèles, le fameux cinquième postulat d’Euclide.
Ce postulat, il dit que pour toute droite et un point disjoint, il existe une unique droite parallèle passant par ce point. Ici, parallèle est pris dans un sens différent que celui que je vous ai indiqué. En effet, précédemment, je vous ai parlé de droites parallèles qui peuvent se croiser ou s’éloigner, mais ça n’est pas le cas dans la géométrie euclidienne. Ce qu’Euclide voulait stipuler, c’est l’existence d’une droite passant par un point qui n’intersecte jamais la première droite.

Sous cette définition, la géométrie sphérique n’a aucune droite parallèle, puisque toutes les droites se coupent. En géométrie hyperbolique, une infinité de droites sont parallèles.
C’est pour cela, et grâce à cela, que la notion de droites parallèles a changé. Aujourd’hui ce qui compte, c’est la distance entre deux droites lancées avec une même direction depuis deux points différents. Cela signifie encore que ce sont des droites parallèles dans le cas Euclidien, mais cela n’est plus la même signification pour les géométries hyperboliques et sphériques. En effet, cette définition permet encore de dire qu’il existe une unique droite parallèle passant par un point disjoint d’une droite donnée, il suffit en effet de transporter la direction de la première droite jusqu’au point et de lancer la seule droite qui a cette direction.

Finalement, alors que les géométries non-euclidiennes ont été pensées pour contredire le cinquième postulat, c’est la notion de droites parallèles qui a changé pour que le cinquième postulat soit toujours vrai.

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