Groupe de Heisenberg

À la note précédente, la décomposition KAN du groupe des isométries de l'espace hyperbolique réel ou complexe a introduit un groupe un peu compliqué : N. Cette note étudie un peu sa structure et explique pourquoi elle permet de voir la différence entre structure conforme et structure CR. On va s’intéresser ici à la structure [...]

Décomposition KAN

D'après Quint, An overview of Patterson-Sullivan theory (poly). On va s’intéresser ici à la décomposition \(KAN\) du groupe des isométries holomorphes, \({\rm PU}(n,1)\), de l’espace hyperbolique complexe, \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). On va montrer que \({\rm PU}(n,1) = KP\) avec \(K\) qui fixe \(0\) et est transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\), et \(P\) qui fixe \(1\) et est transitif sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). [...]

Modèle de l’hyperboloïde et isométries hyperboliques

On va s’intéresser ici à la décomposition \(KAN\) du groupe des isométries holomorphes, \({\rm PU}(n,1)\), de l’espace hyperbolique complexe, \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). On va montrer que \({\rm PU}(n,1) = KP\) avec \(K\) qui fixe \(0\) et est transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\), et \(P\) qui fixe \(1\) et est transitif sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). Ainsi, on va introduire une base [...]

Géométrie conforme, groupe des transformations de Möbius

D’après Matsumoto, Foundations of Flat Conformal Structures. On appelle structure conforme plate la \((G,X)\)-structure \((\mathcal{M}(\mathbf{S}^n),\mathbf{S}^n)\) où \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) est le groupe de transformations de Möbius de la sphère. L’objectif va être de décrire plus précisément la constitution du groupe \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) ainsi que d’expliquer le lien entre cette structure et les structures géométriques homogènes isotropes euclidienne, hyperbolique [...]

Ensemble limite et structure complète

Cette note propose d'exprimer clairement le lien permettant de montrer qu'une structure est complète lorsque le groupe d'isométrie est discret et la développante évite au moins deux points. Ensemble limite Soit \(\Gamma\) un groupe discret agissant par isométrie sur \(Y\) une variété de vision (voir note précédente). Alors \(L(\Gamma)\) est l’ensemble limite de \(\Gamma\). On [...]

Limite et action de groupe par isométries

Cette courte note présente un résultat simple mais pourtant assez éloquent, en lien avec l'étude des ensembles limites de groupes agissant sur une variété à vision (visibility manifold). Une discussion suit sur le dictionnaire de Sullivan. Dynamique Soit \(\Gamma\) agissant par isométries sur \(Y\), une variété riemannienne à courbure négative et ayant la propriété suivante [...]

Sur les variétés de dimension trois et les classes de Stiefel-Whitney

On se pose ici la question de la réalisation par des bases fermées lisses des différentes combinaisons de classes totales de Stiefel-Whitney.En d'autres termes, on étudie l'existence de fibrés vectoriels \(E\to M\) tels que \(M\) est une variété fermée de dimension trois (donc peut être supposée lisse) et de sorte que \(w(E) = 1 + [...]