Groupe de Heisenberg

À la note précédente, la décomposition KAN du groupe des isométries de l'espace hyperbolique réel ou complexe a introduit un groupe un peu compliqué : N. Cette note étudie un peu sa structure et explique pourquoi elle permet de voir la différence entre structure conforme et structure CR. On va s’intéresser ici à la structure [...]

Décomposition KAN

D'après Quint, An overview of Patterson-Sullivan theory (poly). On va s’intéresser ici à la décomposition \(KAN\) du groupe des isométries holomorphes, \({\rm PU}(n,1)\), de l’espace hyperbolique complexe, \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). On va montrer que \({\rm PU}(n,1) = KP\) avec \(K\) qui fixe \(0\) et est transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\), et \(P\) qui fixe \(1\) et est transitif sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). [...]

Modèle de l’hyperboloïde et isométries hyperboliques

On va s’intéresser ici à la décomposition \(KAN\) du groupe des isométries holomorphes, \({\rm PU}(n,1)\), de l’espace hyperbolique complexe, \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). On va montrer que \({\rm PU}(n,1) = KP\) avec \(K\) qui fixe \(0\) et est transitif sur \(\partial \mathbf{H}^n_\mathbf{C}\), et \(P\) qui fixe \(1\) et est transitif sur \(\mathbf{H}^n_\mathbf{C}\). Ainsi, on va introduire une base [...]

Géométrie conforme, groupe des transformations de Möbius

D’après Matsumoto, Foundations of Flat Conformal Structures. On appelle structure conforme plate la \((G,X)\)-structure \((\mathcal{M}(\mathbf{S}^n),\mathbf{S}^n)\) où \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) est le groupe de transformations de Möbius de la sphère. L’objectif va être de décrire plus précisément la constitution du groupe \(\mathcal{M}(\mathbf{S}^n)\) ainsi que d’expliquer le lien entre cette structure et les structures géométriques homogènes isotropes euclidienne, hyperbolique [...]